ガンマ分布とは？リスク解析と保険数理に使える分布

ガンマ分布とは

ガンマ分布とは、連続型の確率分布の一種で、主に「待ち時間」や「寿命」「損害額」などのモデリングに広く使われる分布です。その汎用性の高さが特徴的です。

ガンマ分布はふたつのパラメータ（しばしば形状パラメータ${\alpha}$と率パラメータ${\beta}$ などと表記されます）によって定義され、その確率密度関数は以下のように書かれます。

$${f(x; \alpha, \beta) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha – 1} e^{-\beta x} \quad (x > 0, \; \alpha > 0, \; \beta > 0)}$$

${\Gamma(\alpha)}$はガンマ関数と呼ばれる特殊関数で、ガンマ分布の名前の由来にもなっています。

ガンマ分布の基本的な性質

ここでは、ガンマ分布の代表的な性質をいくつか挙げます。

• 期待値と分散
  • 期待値: ${E[X] = \frac{\alpha}{\beta}}$
  • 分散: ${\mathrm{Var}(X) = \frac{\alpha}{\beta^2}}$
• 形状の柔軟性
  形状パラメータ${\alpha}$が1未満、1付近、1を超える場合とで、確率密度関数の形が大きく変化します。
  • 実は、指数分布は形状パラメータ${\alpha = 1}$の特殊なガンマ分布にあたります。

再生性

同じ率パラメータ${\beta}$を持つガンマ分布同士を足し合わせると、形状パラメータが和になるガンマ分布となる性質があります。

すなわち、ガンマ分布 ${Ga(\alpha_1,\beta)}$に従うあるデータと、そのデータとは独立なガンマ分布 ${Ga{\alpha_2,\beta}}$に従うデータを足したデータは、以下のようなガンマ分布 に従います。

$${Ga(\alpha_1+\alpha_2,\beta)}$$

これにより、複数の指数分布を合成した分布として解釈できるのも特徴です。

正規分布とかポアソン分布も同じ性質ですね。

ガンマ分布とカイ二乗分布の関係

ガンマ分布は多くの有名な確率分布と密接な関係がありますが、χ²（カイ二乗）分布との関係を語ります。

カイ二乗検定や分散分析でよく用いられるため、ガンマ分布は広範な分野とつながっていますね

さて、カイ二乗分布はガンマ分布の特別なケースです。

自由度${k}$のカイ二乗分布は、形状パラメータ${\alpha = k/2}$、率パラメータ${\beta = 1/2}$のガンマ分布と等価になります。

この関係性から、カイ二乗分布もガンマ分布の性質をいくつか継承しています。例えば、独立なカイ二乗分布に従う確率変数の和は、再びカイ二乗分布に従います。

これは、ガンマ分布の合成性から導かれますね

具体例｜保険数理におけるガンマ分布の応用

さて、保険会社における損害額のモデル化をしてみます。

実際の保険商品設計では、再保険契約や年間累積損害（アグリゲート）の取り扱いも考慮するケースが多いので、以下の例よりはもう一段階複雑になる気がします。

• 損害額のモデル
  • 損害額 ${X}$をガンマ分布 ${\mathrm{Gamma}(\alpha, \theta)}$で近似しましょう。
  • 形状パラメータを \alphaα、尺度パラメータを θ\thetaθ とし、確率密度関数は次のようになりますね。
    • ${f_X(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)\,\theta^\alpha} x^{\alpha – 1} e^{-x/\theta} \quad (x > 0)}$

実際には、過去の支払損害データから最尤推定などの手法を用いて${\alpha}$と${\theta}$を推定します。

ここでは例として、過去データを分析した結果、

• ${\hat{\alpha} = 2.0
• ${\hat{\theta} = 20000 \text{円}}$

と推定できたとします。

• 免責金額（デダクティブル）の設定
  • 車両保険などでは、事故時の損害額の一部を自己負担として定める場合があります。これを免責金額（デダクティブル）といいます。
  • ここでは免責金額を ${\mathrm{D} = 50{,}000}$円と設定します。つまり、損害額${X}$が 5万円以下の場合は保険金の支払いがなく、5万円を超えた場合はその超過部分だけを支払います。

期待損害額の計算方法

損害額を ${X}$とし、免責金額 ${\mathrm{D}}$ のもとで保険会社が支払う保険金を${Y}$ とすると、

$${Y = \begin{cases} 0, & X \le \mathrm{D} \\ X – \mathrm{D}, & X > \mathrm{D} \end{cases}}$$

となります。

このときの期待値 ${E[Y]}$は、以下の式で求められます。

$${E[Y] = \int_{\mathrm{D}}^{\infty} (x – \mathrm{D}) f_X(x)\, dx}$$

この辺は、期待値の定義通り計算をやっているだけなので、いかつい見た目に騙されないようにしてください。

ガンマ分布の確率密度関数 ${f_X(x)}$を代入して積分すると、不完全ガンマ関数などを用いて解析的に求めることも可能ですが、実務では手計算する人はいないです。数値積分や統計ソフトを使って計算するのが一般的です。

仮計算例

ここでは、

• ${\hat{\alpha} = 2.0}$
• ${\hat{\theta} = 20000}$
• ${\mathrm{D} = 50000 }$

のときに、数値例を簡単に示してみます。

免責金額 50000 円以上の保険金支払の期待値: 7387.65 円

1. 分布の概要
   • 平均損害額: ${\hat{\alpha} \times \hat{\theta} = 2.0 \times 20000 = 40000}$円
   • 損害額が 0 円から数十万円程度の範囲に広がる可能性を想定。
2. 期待損害額の計算
   • 免責金額 5万円を超過する部分のみ支払うため、5万円以下の損害に対しては保険金支払いはありません。
   • 計算結果、${E[Y] \approx 20{,}000 \text{円}}$円 と試算できたとします