【完全版】二項分布をわかりやすく説明｜統計学

二項分布

二項分布を理解するには、まずベルヌーイ分布の理解が必須です。

ベルヌーイ分布

ベルヌーイ分布は、単一の確率実験において、成功(1)か失敗(0)の2値をとる離散確率分布です。

確率質量関数は、

$$P(X=x) = p^x(1-p)^{1-x}, \qquad x=0,1$$

で表されます。

ここで、pは成功確率です。

ベルヌーイ分布の期待値と分散は、以下のように求められます。

$$\mathbb{E}[X] = p, \qquad \mathbb{V}[X] = p(1-p)$$

一方、二項分布は、この単一のベルヌーイ試行を独立に繰り返した場合の、成功回数の確率分布を表します。

つまり、$n$回のベルヌーイ試行において、成功回数が$X$である確率を表す分布です。

もう少し厳密にいうと、$Y_1,..,Y_n$が独立に、同一の$p\in(0,1)$で指定されるベルヌーイ分布にしたがっている時の、$X=\sum Y_i$の従う分を二項分布$B(n,p)$と呼びます。

確率質量関数は以下になります。

$${P(X=x)={}_nC_xp^x(1-p)^{n-x}}$$

よくコイン投げが例に挙げられますが、当然2項分布はコイン投げ以外にも使い道はあります。

例えば内閣支持率調査の場合でも2項分布があてはまります。

$n$ 人に調査を行うとし、$n$ 人の中で内閣を支持する人の数を $X$とします。

また日本人有権者全体を無限母集団とみなすと、この調査は $n$ 回のベルヌーイ試行列であり、 $p$ を日本人有権者全体での内閣支持率とすれば、確率変数$X$ は2項分布 $B(n, p)$ に従います。

では、期待値と分散を考えてみましょう。
ベルヌーイ分布と同様に考えやすく、直感的にわかります。

二項分布の期待値と分散の導出

期待値

二項分布の期待値を求めます。

$$\begin{align*}E(X) &= \sum_{x=0}^{n} x \cdot P(X=x) \\&= \sum_{x=0}^{n} x \cdot {}_nC_x p^x (1-p)^{n-x}\end{align*}$$

高校数学で習ったと思いますが、二項係数${}_nC_x$は$n$個から$x$個選ぶ組み合わせの数を表します。

$x$を固定すると、残りの$n-x$個から選ぶ組み合わせの数は$1$通りしかありませんよね。

そのため、

$${{}_nC_x p^x (1-p)^{n-x} = {}_nC_x p^x \cdot 1 \cdot (1-p)^{n-x}}$$

$${ {}_nC_x p^x = \frac{n!}{(n-x)!x!}p^x}$$

と変形できます。

これを代入すると、

$$
\begin{align*}
E(X) &=x \sum_{x=0}^{n} \left( \frac{n!}{(n-x)!x!} p^x \cdot 1 \cdot (1-p)^{n-x} \right) \\
&= np \sum_{x=0}^{n} \frac{(n-1)!}{(n-x)!(x-1)!}p^{x-1}(1-p)^{n-x} \\
&= np \cdot 1 \end{align*}
$$

ポイントとしては、$x!=x(x-1)!$と分けて、実現値の部分は消してしまい、$(x-1)!$に合わせて、二項係数を作り替えた結果$n,p$の二つがサメンションの外に出せるという点ですね。

よって二項分布の期待値は、$E(X) = np$となります。

分散

分散は、$V(X) = E(X^2) – E(X)^2$から求められます。
この公式自体は理屈と一緒に覚えたいですね。

まず、期待値の二乗である$E(X^2)$を求めましょう。

$$\begin{align*}E(X^2) &= \sum_{x=0}^{n} x^2 \cdot P(X=x) \\&= \sum_{x=0}^{n} x(x-1) \cdot P(X=x) + \sum_{x=0}^{n} x \cdot P(X=x) \\&= \sum_{x=0}^{n} x(x-1) \cdot {}_nC_x p^x (1-p)^{n-x} + np \\&= n(n-1)p^2 + np \end{align*}$$

計算のテクニックとしては、期待値と同じで実現値$x^2$の扱い方になります。

$x^2=x(x-1)+x$と変換して、二項係数で分母をキャンセルできるようにしています。

さて、既に求めた$E(X)=np$を使うと、

$$
\begin{align*}
V(X) &= E(X^2) – E(X)^2 \\
&= n(n-1)p^2 +np- (np)^2 \\
&= n^2p^2+np^2+np – n^2p^2 \\
&= np(1-p)
\end{align*}
$$

となります。

では、確率質量関数の図を見てみましょう。